1 . 定义
，其中
为奇素数.
(1)给出同余方程
的满足
的一组解；
(2)（代数基本定理）设
，且
，求证
在
内至多有
个解；
(3)（
小定理）求证：
；
(4)（原根存在定理）若正整数
满足：
，且
，则记
，则称
为
在
意义下的阶，求证：必定存在
，有
；
(5)求证，存在
，都存在
中必有一者成立；
(6)说明当
时，
必有一组非零解
.
，其中为奇素数.(1)给出同余方程
的满足的一组解；(2)（代数基本定理）设
，且，求证在内至多有个解；(3)（
小定理）求证：；(4)（原根存在定理）若正整数
满足：，且，则记，则称为在意义下的阶，求证：必定存在，有；(5)求证，存在
，都存在中必有一者成立；(6)说明当
时，必有一组非零解.
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2 . 已知a、b、c、d是不同的正整数，且满足
是整数，求证：
不是质数．
是整数，求证：不是质数．
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3 . 一个大于1的整数m，如果对所有的正整数n，都存在正整数x、y、z，使得
，则称m为上数，否则称为下数．试问：是否存在无数多的上数？是否存在无数多的下数？
，则称m为上数，否则称为下数．试问：是否存在无数多的上数？是否存在无数多的下数？
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4 . 求所有的正整数n，使得方程
有正整数解.
有正整数解.
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5 . 求方程
的全部正整数解（x，y）
的全部正整数解（x，y）
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6 . 证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p，至少存在一个
，满足
.
，满足.
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7 . 已知正整数数列
满足对任意的正整数
均有
，证明：存在无穷多个正整数对
（
），使得
．
满足对任意的正整数均有，证明：存在无穷多个正整数对（），使得．
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8 . 设整数
满足
，证明：
.
满足，证明：.
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9 . 数列
中没有完全平方数.
中没有完全平方数.
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10 . 求出所有非零整数
，使得
是一个整数．其中，
表示的最大公因数．
，使得是一个整数．其中，表示的最大公因数．
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