1 . 设正整数构成的数列
使得
对一切
恒成立.记该数列若干连续项的和
为
，其中
，且
.求证：所有构成的集合等于
.
使得对一切恒成立.记该数列若干连续项的和为，其中，且.求证：所有构成的集合等于.
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2 . 设
个质数
构成公差为
的等差数列，且
.求证
（1）当是质数时，
；
（2）当
时，
.
个质数构成公差为的等差数列，且.求证（1）当
是质数时，；（2）当
时，.
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3 . 从1，2，3，…，2050这2050个数中任取2018个组成集合
，把中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，使得有600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：
①这600个红数的和等于600个蓝数的和；
②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.
，把中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，使得有600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：①这600个红数的和等于600个蓝数的和；
②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.
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4 . 在
方格表中的每个方格内填入一个“
”号或“
”号.若一个有序整数组
具有以下性质：
（i）
；
（ii）
；
（iii）在上述
方格表中的第
列的每个方格中“”（或“”）号后添上
，使得第
行的数之和为
.则称为“优数组”，证明：至少存在四个不同的优数组.
方格表中的每个方格内填入一个“”号或“”号.若一个有序整数组具有以下性质：（i）
；（ii）
；（iii）在上述
方格表中的第列的每个方格中“”（或“”）号后添上，使得第行的数之和为.则称为“优数组”，证明：至少存在四个不同的优数组.
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5 . 证明：在任意
个人中，可以找到两个人、
，使得其余
个人中，至少有
个人他们中的每一个，或者都认识、；或者都不认识、．
个人中，可以找到两个人、，使得其余个人中，至少有个人他们中的每一个，或者都认识、；或者都不认识、．
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6 . 将圆周上的所有点进行三染色．证明：存在无穷多个等腰三角形，其顶点均为圆周上的同色点．
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