1 . 设整数
，对置于
个点
及点
处的卡片作如下操作：操作
：若某个点
处的卡片数不少于3，则可从中取出三张，在三点
、
、处各放一张
；操作
：若点处的卡片数不少于，则可从中取出张，在个点处各放一张．证明：只要放置于这
个点处的卡片总数不少于
，则总能通过若干次操作，使得每个点处的卡片数均不少于．
，对置于个点及点处的卡片作如下操作：操作：若某个点处的卡片数不少于3，则可从中取出三张，在三点、、处各放一张；操作：若点处的卡片数不少于，则可从中取出张，在个点处各放一张．证明：只要放置于这个点处的卡片总数不少于，则总能通过若干次操作，使得每个点处的卡片数均不少于．
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2 . 给定正整数数组
.若对任意的
，均有
，则集合
称为“
好的”.定义
为最大的正整数
，使得集合 
可以分成两个集合
满足
，
，且
为好的，
为
好的.若数组
满足
，且
，证明：
.
.若对任意的，均有，则集合 称为“好的”.定义 为最大的正整数 ，使得集合 可以分成两个集合 满足， ，且 为好的， 为好的.若数组满足 ，且 ，证明： .
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3 . 若干个同学参加数学竞赛，其中任何
个同学都有唯一的公共朋友（当甲是乙的朋友时，乙也是甲的朋友）．问有多少同学参加数学竞赛？
个同学都有唯一的公共朋友（当甲是乙的朋友时，乙也是甲的朋友）．问有多少同学参加数学竞赛？
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4 . 在一条长36cm的直尺上刻划n条刻度，使得用该尺能一次性度量
中的任意整数cm的长度，试求n的最小值.
中的任意整数cm的长度，试求n的最小值.
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5 . 有2002名运动员，号码依次为
．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么，被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．
．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么，被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．
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6 . 设
、
、
，
，
，
是复数，且
．求证：
的充分必要条件是
．
、、，，，是复数，且．求证：的充分必要条件是．
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7 . 有10名乒乓球选手进行单循环赛.比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人.则恰好胜了两场的选手有______ 名.
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8 . 已知个正整数
满足
，其中任意两个
，
的最小公倍数都大于
.求证：
.（
表示
的整数部分）
个正整数满足，其中任意两个，的最小公倍数都大于.求证：.（表示的整数部分）
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9 . 设集合
.若
的两个非空真子集
满足
,则称为的一个划分.若对集合的任一划分,均有中或中存在两个数使得其和为平方数,则n至少为______ .
.若的两个非空真子集满足,则称为的一个划分.若对集合的任一划分,均有中或中存在两个数使得其和为平方数,则n至少为
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