1 . 空间中有5个点，任意4点不共面. 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中至多有三角形个.
| A．3 | B．4 | C．5 | D．6 |
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2 . 对于任意给定的无理数
及实数
，圆周
上的有理点的个数情况是
及实数，圆周上的有理点的个数情况是| A．至多一个 | B．至多两个 | C．至少两个，个数有限 | D．无数多个 |
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3 . 如图，有三种类型的纸片(可翻转)．
证明:（1）当
时，
的纸板不能分割成若干个I型、II型的纸片;
（2）当n为大于2的偶数时，的纸板可以分割成若干个II型、III型的纸片．
证明:（1）当
时，的纸板不能分割成若干个I型、II型的纸片;（2）当n为大于2的偶数时，
的纸板可以分割成若干个II型、III型的纸片．
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4 . 一名摄影师在一次聚会中给八个人拍了一些照片，任意两个人(有28种可能的组合)恰出现在一张照片上，每张照片可以是两人合影，也可以是三人合影．则摄影师至少要拍_________ 张照片．
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2010高三·甘肃·竞赛
5 . 设
是一些互不相同的四元数组
的集合，其中，
或
．已知的元素个数不超过15，且满足：若、
，则
、
，其中，
，
．求集合元素个数的最大值．
是一些互不相同的四元数组的集合，其中，或．已知的元素个数不超过15，且满足：若、，则、，其中，，．求集合元素个数的最大值．
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6 . 空间有五个点，任意四点不共面. 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中三角形个数的最大值为______ .
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7 . 能否将下列数组中的数填入
的方格表中，每个小方格填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.
（1）2，4，6，8，12，18，24，36，48；
（2）2，4，6，8，12，18，24，36，72.
的方格表中，每个小方格填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（1）2，4，6，8，12，18，24，36，48；
（2）2，4，6，8，12，18，24，36，72.
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8 . 在直角坐标平面上，称横、纵坐标都是有理数的点为有理点．求满足如下条件的最小正整数
：每一个圆周上含有个有理点的圆，它的圆周上一定含有无穷多个有理点．
：每一个圆周上含有个有理点的圆，它的圆周上一定含有无穷多个有理点．
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9 . 如图，依顺时针方向，从1开始，走1步到2，再走2步到3，最后走3步到4.对于大于1的自然数n，能否将1至n排在圆周上，使得从1开始，走一步到
，再走步到
，……最后，走
步到
?这里
是1，2，1…，n的一个排列.
，再走步到，……最后，走步到?这里是1，2，1…，n的一个排列.
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10 . 将
颗珠子分成
堆.若通过每次从其中
堆中各取走一颗珠子，而最后取完，则称这样的分法为“和谐的”.试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明.
颗珠子分成 堆.若通过每次从其中 堆中各取走一颗珠子，而最后取完，则称这样的分法为“和谐的”.试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明.
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