1 . 在一次数学竞赛中,某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为X,对集合X的子集Y,若可以将这些人两两分组,且每组中两名选手均是朋友关系,则称子集Y“可两两分组”.已知集合X不可两两分组,且对于任意选手,若A、B不是朋友关系,则可两两分组,且X中没有一个人与其他所有人均为朋友关系证明:对任意选手,若a、b为朋友关系,b、c为朋友关系,则a、c也为朋友关系
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2 . 有2012位学者参加某数学会议,他们中有些人相互认识,且满足:
(1)每个人至少认识其中的671个人;
(2)对于其中任意两个人、,若、相互不认识,则总可以通过其他人间接认识,即存在,使得认识,认识,认识;
(3)不可以将2012位学者排成一排,使得相邻的两个人相互认识.
证明:可以将2012位学者分成两组,其中一组能够排成一圈,使得相邻的人相互认识,另一组任何两个人不认识.
(1)每个人至少认识其中的671个人;
(2)对于其中任意两个人、,若、相互不认识,则总可以通过其他人间接认识,即存在,使得认识,认识,认识;
(3)不可以将2012位学者排成一排,使得相邻的两个人相互认识.
证明:可以将2012位学者分成两组,其中一组能够排成一圈,使得相邻的人相互认识,另一组任何两个人不认识.
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3 . 考虑的方格表,其中每个方格内均填有数字0.每次操作可先选定三个实数、、,然后选定一行,将这一行每个方格中的数都加上(为该方格所在的列数,);或选定一列,将这一列每个方格中的数都加上(为该方格所在的行数,),问:能否经过有限次操作,使该方格表中四个角的数字变成1,而其他格的数字仍为0?
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4 . 将棋盘的每个方格都随意染黑白两色之一,每次操作是将其中同行、同列、同对角线的连续五个方格改变成相反的颜色.试问:能否经过有限次操作,使得所有方格的颜色都变成与原先相反的颜色?
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5 . 设、是两个正整数(允许与相等),、是两个由若干个实数组成的集合,且,(允许),集合满足:若、、、,且,则或且,或(且).定义一个集合.试求出的最小可能值(表示集合的元素个数).
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6 . 空间中有5个点,任意4点不共面. 若连了若干条线段而图中不存在四面体,则图中至多有三角形个.
A.3 | B.4 | C.5 | D.6 |
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7 . 能否将下列数组中的数填入的方格表中,每个小方格填一个数,使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明.
(1)2,4,6,8,12,18,24,36,48;
(2)2,4,6,8,12,18,24,36,72.
(1)2,4,6,8,12,18,24,36,48;
(2)2,4,6,8,12,18,24,36,72.
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8 . 将 颗珠子分成 堆.若通过每次从其中 堆中各取走一颗珠子,而最后取完,则称这样的分法为“和谐的”.试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明.
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9 . 设整数,对置于个点及点处的卡片作如下操作:操作:若某个点处的卡片数不少于3,则可从中取出三张,在三点、、处各放一张;操作:若点处的卡片数不少于,则可从中取出张,在个点处各放一张.证明:只要放置于这个点处的卡片总数不少于,则总能通过若干次操作,使得每个点处的卡片数均不少于.
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10 . 给定正整数数组 .若对任意的,均有,则集合 称为“好的”.定义 为最大的正整数 ,使得集合 可以分成两个集合 满足, ,且 为好的, 为好的.若数组满足 ,且 ,证明: .
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