1 . 定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)判断在上的单调性，不需证明；
(3)解不等式．

2 . 已知函数．
(1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．

3 . 已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性；
(2)用定义证明（1）中结论；
(3)求该函数在区间上的最大值和最小值.

4 . 探究函数，的单调性，并证明你的结论．

5 . 对于定义域为的函数，如果存在区间.同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：，是函数的一个“优美区间”；
(2)函数是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由.
(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.

6 . 证明：方程没有整数解．

7 . 已知函数．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断函数在区间上的单调性（不用证明），并解不等式．

8 . 因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．
(1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．
(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

9 . 设，已知函数.
（1）当，请写出函数的增区间；（不需要证明）
（2）若存在实数a，使不等式在区间上恒成立，求实数b的取值范围.

10 . 函数是定义域为的奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（不要求证明）；
(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围；
(3)若，求角的取值范围.