1 . 集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．
(1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明是奇数．

2 . 已知集合为非空数集，定义.
(1)若集合，请证明，并直接写出集合；
(2)若且，集合，求的最小值；
(3)若集合，且，求证：.

3 . 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”．
(1)判断集合是否是“平衡集”并说明理由；
(2)求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；
(3)证明：四元集合，其中不可能是“平衡集”．

4 . 对任意正整数n，记集合，．，，若对任意都有，则记．
(1)写出集合和；
(2)证明：对任意，存在，使得；
(3)设集合．求证：中的元素个数是完全平方数．

6 . 已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质．
(1)判断集合是否具有性质；
(2)已知集合A具有性质，求证：；
(3)证明：是无理数．

7 . 已知，集合，对于，定义A与B之间的距离为：．
(1)对任意的，请写出可能的值（不必证明）；
(2)设，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值；
(3)对，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立：
①．
②三个数中至少有一个是偶数．

8 . 若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A是“好集”，求证：若x、，则；
(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有.

9 . 设数集满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.
（1）判断数集是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集且具有性质.
（i）当时，求证：、、、是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）

10 . 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）．
（）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．
（）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”．