1 . 一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列
的前
项和为
，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于
的项的和为
．
（Ⅰ）求
和
；
(Ⅱ)判断和的大小，不用证明；
（Ⅲ）设
，求证：
，
，使得
．
的前项和为，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于的项的和为．（Ⅰ）求
和； (Ⅱ)判断
和的大小，不用证明；（Ⅲ）设
，求证：，，使得．
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2 . 从数列
中选取第
项，第
项，
，第
项（
），若数列
，
，，
是递增数列或递减数列（规定
时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称，，，为数列的长度为m的单调子列.已知有穷数列A：
，
，，
（
），任意两项均不相同，现以A的每一项
为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有
项，则
，
，，
构成一个新数列B.
(1)当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3.
(2)若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
(3)若数列A共有
（
）项，求证：A必存在一个长度为
的单调子列.
中选取第项，第项，，第项（），若数列，，，是递增数列或递减数列（规定时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称，，，为数列的长度为m的单调子列.已知有穷数列A：，，，（），任意两项均不相同，现以A的每一项为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有项，则，，，构成一个新数列B.(1)当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3.
(2)若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
(3)若数列A共有
（）项，求证：A必存在一个长度为的单调子列.
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名校
3 . 已知有
个连续正整数元素的有限集合
（
，
），记有序数对
，若对任意
，
，，
且
，A同时满足下列条件，则称
为元完备数对.
条件①：
；
条件②：
.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.条件①：
；条件②：
.(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
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2024-02-23更新
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271次组卷
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2卷引用：北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷
4 . 已知无穷数列
，若无穷数列
满足：
，都有
，则称与“接近”.
(1)设
，
，试判断与是否“接近”，并说明理由；
(2)若数列，均为等差数列，他们的公差分别为
，
.求证：与“接近”的必要条件是“
”；
(3)已知数列是公差为
的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且
，
，
，，
中至少有100个正数，求的取值范围.
，若无穷数列满足：，都有，则称与“接近”.(1)设
，，试判断与是否“接近”，并说明理由；(2)若数列
，均为等差数列，他们的公差分别为，.求证：与“接近”的必要条件是“”；(3)已知数列
是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且，，，，中至少有100个正数，求的取值范围.
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2022-11-08更新
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184次组卷
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2卷引用：北京市通州区2023届高三上学期期中质量检测数学试题
5 . 集合是由适合以下性质的函数
构成的，对于定义域内任意两个不相等的实数
，
，都有
.
(1)试判断
，
是否在集合中，并说明理由；
(2)设
（
），求证：
的充要条件是
；
(3)设且定义域为
，值域为
，
，试写出一个满足以上条件的函数的解析式（只要求写出结果）.
是由适合以下性质的函数构成的，对于定义域内任意两个不相等的实数，，都有.(1)试判断
，是否在集合中，并说明理由；(2)设
（），求证：的充要条件是；(3)设
且定义域为，值域为，，试写出一个满足以上条件的函数的解析式（只要求写出结果）.
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6 . 已知数列A：
的各项均为正整数，设集合
，记T的元素个数为
．
（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值；
（2）若A是递增数列，求证：“
”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）若
，数列A由
这
个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．
的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出
的值；（2）若A是递增数列，求证：“
”的充要条件是“A为等差数列”；（3）若
，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．
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2021-04-07更新
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1502次组卷
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9卷引用：北京市第五中学通州校区2022届高三上学期期中考试数学试题
解题方法
7 . 用
表示一个小于或等于
的最大整数.如：
，
，
. 已知实数列
、、对于所有非负整数满足
，其中是任意一个非零实数.
（Ⅰ）若
，写出、、
；
（Ⅱ）若
，求数列
的最小值；
（Ⅲ）证明：存在非负整数
，使得当
时，
.
表示一个小于或等于的最大整数.如：，，. 已知实数列、、对于所有非负整数满足，其中是任意一个非零实数.（Ⅰ）若
，写出、、；（Ⅱ）若
，求数列的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数
，使得当时，.
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