1 . 2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小暑至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎．
(1)由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率．
(2)甲乙两人各自独立的参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p和．
（i）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X，求X的分布列；
（ii）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p的取值范围．

2 . 如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点.

   

(1)当时，求四棱锥的体积；
(2)当直线与平面所成的角为时，求的值.

3 . 为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产．
(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了次，求随机变量的分布列与期望；
(2)设每件新产品为次品的概率都为，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为，问取何值时，最大．

4 . 如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（       ）

A．该几何体的体积为

B．直线与平面所成角的正切值为

C．异面直线与的夹角余弦值为

D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上

5 . 设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 某产品的销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则（       ）

A．6

B．7

C．8

D．9

7 . 如图，在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（       ）

A．三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为

B．四点共面

C．点到的最近距离为

D．异面直线与所成角的范围为

8 . 若正整数，只有为公约数，则称，互质．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的有（       ）

A．	B．
C．	D．，是正整数

9 . 某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试．
(1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则．
①证明：数列为等比数列；
②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小．

10 . 已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．