1 . 甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为．
(1)求的值．
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率．
(3)记．
（i）证明数列为等比数列，并求出的通项公式．
（ii）求的分布列及数学期望．（用表示）

3 . 已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（       ）

A．的准线方程为

B．，，成等差数列

C．若在的准线上，则

D．若在的准线上，则的最小值为

5 . 无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．

6 . 2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练
(1)求抽到甲参与传球训练的概率；
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望；
(3)若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率．

7 . 对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，.
(1)若为等比数列，求；
(2)求在，，，…，中，3级十全十美数的个数.

10 . 甲、乙两人进行知识问答比赛，共有道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为和，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.
(1)若，，求甲获胜的概率；
(2)若，设甲第题的得分为随机变量，一次比赛中得到的一组观测值，如下表.现利用统计方法来估计的值：
①设随机变量，若以观测值的均值作为的数学期望，请以此求出的估计值；
②设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.

题目	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
得分	1	0	0	﹣1	1	1	﹣1	0	0	0
题目	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
得分	﹣1	0	1	1	﹣1	0	0	0	1	0

表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量，的期望，都存在，则.