1 . 定义区间
的长度均为
.已知实数
.则满足
的
构成的区间的长度之和为
的长度均为.已知实数.则满足的构成的区间的长度之和为| A．1 | B． | C． | D．2 |
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2 . .设数列
定义为
证明：
（1）当
时，
；
（2）
定义为 证明：（1）当
时， ；（2）
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3 . 正五边形
的对角线
分别与对角线
、
交于点
、
，对角线
分别与对角线
、
交于点
、
，对角线与对角线交于点
. 设由图2中的10个点
、
、
、
、
、、、、、和线段构成的等腰三角形的集合为
.
（1）求中元素的数目；
（2）若将这10个点中的每个点任意染为红、蓝两种颜色之一，问是否一定存在中的一个等腰三角形，其三个顶点同色？
（3）若将这10个点中的任意
个点染为红色，使得一定存在中的一个等腰三角形，其三个顶点同为红色，求的最小值.
的对角线分别与对角线、交于点、，对角线分别与对角线、交于点、，对角线与对角线交于点. 设由图2中的10个点、、、、、、、、、和线段构成的等腰三角形的集合为.（1）求
中元素的数目；（2）若将这10个点中的每个点任意染为红、蓝两种颜色之一，问是否一定存在
中的一个等腰三角形，其三个顶点同色？（3）若将这10个点中的任意
个点染为红色，使得一定存在中的一个等腰三角形，其三个顶点同为红色，求的最小值.
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4 . 有10名选手
，他们的积分分别为9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，名次分别为第1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．现进行单循环比赛（即任意两名选手之间都恰进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负．若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得1分，负者得0分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得2分，负者得0分．全部比赛结束后计算每名选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（允许名次并列）．
，他们的积分分别为9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，名次分别为第1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．现进行单循环比赛（即任意两名选手之间都恰进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负．若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得1分，负者得0分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得2分，负者得0分．全部比赛结束后计算每名选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（允许名次并列）．
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2008高三·天津·竞赛
5 . 已知数列
满足：
（
）．求
的通项公式．
满足：（）．求的通项公式．
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2008高三·天津·竞赛
6 . 已知锐角
的三边
的中点分别为
，在
的延长线上分别取点
．若
，证明：
的外心为的垂心．
的三边的中点分别为，在的延长线上分别取点．若，证明：的外心为的垂心．
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2008高三·天津·竞赛
7 . 如图，已知半径为
的
外一条直线
在
上的投影为
与交于点
．设
为上的点，在的同侧，且
（），中2008条平行于的弦
（
），且这2008条弦与
的交点均分．则
的值为______ （用
表述）．
的外一条直线在上的投影为与交于点．设为上的点，在的同侧，且（），中2008条平行于的弦（），且这2008条弦与的交点均分．则的值为表述）．
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2008高三·天津·竞赛
8 . 已知长方体
满足
，平面
分别与
交于点
．则四面体
的体积为______ ．
满足，平面分别与交于点．则四面体的体积为
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2008高三·天津·竞赛
9 . 设不定方程
的正整数解（
）中满足均大于2008的不同解的数目为
．则满足
的正整数解（）中满足均大于2008的不同解的数目为．则满足A． | B． | C． ，但是有限的数 | D．是无穷大 |
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（
）的所有根为
（
），方程
（
，
）的所有根为
（
）．则
的值为
