1 . 已知函数，其中
(1)若，记，试判断在上的单调性；
(2)求证:当时，；
(3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

2 . 已知函数.
(1)当时，求证：存在唯一的极大值点，且；
(2)若存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程的根，证明：.

3 . 已知函数，.
(1)当时，求在区间内极值点的个数；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：，，.

4 . 已知函数，其中.
(1)当时，，求的取值范围.
(2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.
(3)证明：（）.

5 . 已知函数，为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围；
(3)若，证明：．

6 . 已知函数.
(1)当时，证明：是增函数.
(2)若恒成立，求的取值范围.
(3)证明：（，）.

7 . 已知函数，时，，则实数的范围是__________.

8 . 抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，则数列的通项公式____________．

9 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设实数使得对恒成立，求的最大值．