1 . 设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；
（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.

2 . 在平面直角坐标系xOy中，椭圆，离心率，F为椭圆左焦点.若椭圆上有一点P在x轴的上方，且轴，线段.
（1）求椭圆E的方程；
（2）关于椭圆E的切线有如下结论：过椭圆上一点的切线方程.利用此结论解决以下问题：椭圆E的左顶点为，点D在点处的切线上，过点D作椭圆的另一条切线DQ，切点为Q(D，Q异于顶点)，直线DF与椭圆交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线与直线，分别交于点A，B，求证：点A是线段BM的中点.

3 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点.
①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；
②若△OPQ的面积为求直线l的方程.

4 . 已知函数，.
（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；
（2）设函数.
①当时，求证：在定义域内有唯一极小值点，且；
②若恰有两个零点，求实数的取值范围.

5 . 已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求证：．

6 . 已知函数，为函数的导函数.
（1）求证：函数在区间上存在唯一的零点；
（2）记x₀为函数在区间上的零点；
①设，函数，判断的符号，并说明理由；
②求证：存在大于0的常数A，使得对任意的正整数，且，满足.

7 . 若实数列满足条件，、、，则称是一个“凸数列”.
（1）判断数列和是否为“凸数列”?
（2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数、、，当时，有；
（3）若是一个“凸数列”，证明：对，有.

8 . 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.
（1）求证：对任意三点、、，都有；
（2）已知点和直线，求；
（3）定点，动点满足（），请求出点所在的曲线所围成图形的面积.

9 . 设，满足递推关系，初值条件．令，即，令此方程的两个根为、，若，则有（其中），若，则有（其中）.
证明：如果数列满足下列条件：已知的值，且对于，都有（其中、、、均为常数，且，，），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若，则，；若，则，其中，.
特别地，当存在使时，无穷数列不存在；
（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，，其中，（其中）.

10 . 已知函数
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）设，若在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）设，若存在不相等的实数，，使得，证明：．