1 . 阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为____________.

2 . 对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．

3 . 我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥）称为方锥．已知某方锥外接球的半径为2，则该方锥体积的最大值为______．

4 . 圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.

5 . 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标_____________.

6 . 瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________

7 . 算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.如图，若拨珠的三档从左至右依次定位：百位档、十位档、个位档，则表示数字518．若在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被5整除的概率为 ______ .

8 . 《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_____.

9 . 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为_________.

10 . 在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______.