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解题方法
1 . 已知椭圆:的离心率是,点是椭圆的上顶点,点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设圆.若直线与圆相切,且点在轴右方,求点的坐标;
(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点,点关于轴的对称点是点,直线、分别交轴与点、点,探究是否为定值,若为定值,求出该定值,若不为定值,说明理由.
(1)求椭圆的方程;
(2)设圆.若直线与圆相切,且点在轴右方,求点的坐标;
(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点,点关于轴的对称点是点,直线、分别交轴与点、点,探究是否为定值,若为定值,求出该定值,若不为定值,说明理由.
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2 . 设是直角坐标平面上的一点,曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线,则称是函数的“度点”.
(1)判断点是否为函数的度点,并说明理由;
(2)若点是的度点,求的最小值;
(3)求函数的全体度点构成的集合.
(1)判断点是否为函数的度点,并说明理由;
(2)若点是的度点,求的最小值;
(3)求函数的全体度点构成的集合.
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解题方法
3 . 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,为了纪念他,人们把函数()称为高斯函数,其中表示不超过x的最大整数. 已知:,(,)(1)若,,,求的值;
(2)若,,,求证:;
(3)设,求S除以2023的余数.
(2)若,,,求证:;
(3)设,求S除以2023的余数.
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4 . 设分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆短轴的一个顶点,已知的面积为.如图,是椭圆上不重合的三个点,原点是的重心.(1)求椭圆的方程;
(2)求点到直线的距离的最大值;
(3)判断的面积是否为定值,并说明理由.
(2)求点到直线的距离的最大值;
(3)判断的面积是否为定值,并说明理由.
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2024-05-09更新
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411次组卷
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2卷引用:上海交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
5 . 已知函数是自然对数的底数.
(1)当时,求函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不等实根,求的取值范围;
(3)若为整数,且当时,恒成立,求的最大值.
(1)当时,求函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不等实根,求的取值范围;
(3)若为整数,且当时,恒成立,求的最大值.
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6 . 已知与都是定义在上的函数,函数图像上任意两点,记表示此两点连线的斜率.当时,都有,则称是的一个“T函数”.
(1)判断是否为函数的一个函数,并说明理由;
(2)设的导数为,求证:关于的方程在区间上有实数解;
(3)函数的导函数存在记为,即导函数存在记为,当都有,函数是否存在T函数?若存在,请求出的所有函数;若不存在,请说明理由.
(1)判断是否为函数的一个函数,并说明理由;
(2)设的导数为,求证:关于的方程在区间上有实数解;
(3)函数的导函数存在记为,即导函数存在记为,当都有,函数是否存在T函数?若存在,请求出的所有函数;若不存在,请说明理由.
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7 . 已知等比数列的前项和为,,且成等差数列.
(1)求;
(2)设,是数列的前项和,求;
(3)设,是的前项的积,求证:(为正整数).
(1)求;
(2)设,是数列的前项和,求;
(3)设,是的前项的积,求证:(为正整数).
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8 . 对于有穷数列,若存在等差数列,使得,则称数列是一个长为的“弱等差数列”.
(1)证明:数列是“弱等差数列”;
(2)设函数,在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为,证明: 是“弱等差数列”;
(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”,且是等比数列.
(1)证明:数列是“弱等差数列”;
(2)设函数,在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为,证明: 是“弱等差数列”;
(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”,且是等比数列.
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9 . 已知圆,动圆与圆内切,且与定直线相切,设圆心的轨迹为
(1)求的方程
(2)若直线过点,且与交于两点
①若直线与轴交于点,满足,试探究与的关系;
②过点分别作曲线的切线相交于点,求面积的最小值.
(1)求的方程
(2)若直线过点,且与交于两点
①若直线与轴交于点,满足,试探究与的关系;
②过点分别作曲线的切线相交于点,求面积的最小值.
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10 . 已知函数.
(1)若直线是曲线的切线,求实数的值;
(2)若对任意实数恒成立,求的取值范围;
(3)若,且,求实数的最大值.
(1)若直线是曲线的切线,求实数的值;
(2)若对任意实数恒成立,求的取值范围;
(3)若,且,求实数的最大值.
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