1 . 如果是素数，证明：至少有个不同的素因数．

2 . 已知正整数，为整数，且其中任何一个均不为的倍数．证明：存在不全为零的整数，使得为的倍数，其中

3 . 给定整数证明：至多存在有限个正整数同时满足下列条件：（1）；（2）

4 . 证明：当时，交错地取偶数与奇数值．

5 . 求n阶行列式的值：，．

6 . 有五个数字，其中两个1，两个2，一个3，问用这五个数字能组成多少个四位数？

7 . 教室里有12个座位，坐着6个男生和6个女生，如果为了某种需要，在男生和女生之间调换座位，且男生必须离开原来的位置，那么共有多少种不同的调换方法？

8 . 设个元素相乘：，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有多少种添加括号的方案？

9 . 如图，平面平面，菱形平面，，为平面内一动点.

(1)若平面，间的距离为，设直线，与平面所成的角分别为，，，求动点在平面内的射影的一个轨迹方程；
(2)若点在平面内的射影为，证明：直线与平面所成的角与的大小无关.

10 . 已知，.
(1)求方程的根的个数；
(2)证明：.