1 . 设函数（）.
（1）若在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若.，求证：在区间内存在唯一零点；
（3）若，求在区间上的最大值.

2 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.

3 . 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积.

4 . 已知函数.
(1) 求的极值；
(2) 当时，求证：

5 . 已知函数.
（1）当时，求函数的最值；
（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，设函数，数列满足，，求证：，.

6 . 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.

7 . 已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．
(1)确定与的关系；若，并试讨论函数的单调性；
(2)设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．

8 . 已知是椭圆上关于原点对称的任意两点，且点都不在 轴上.
（1）若，求证: 直线和的斜率之积为定值；
（2）若椭圆长轴长为，点在椭圆上，设是椭圆上异于点的任意两点，且.问直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

9 . 已知椭圆的焦距为，设右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，线段的中点为，且.
（1）求弦的长；
（2）当直线的斜率，且直线时，交椭圆于，若点在第一象限，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.

10 . 如图已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点，求证：为定值．