1 . 已知为坐标原点，双曲线.上一点处的切线与的渐近线交于点，，且的面积为.
(1)求；
(2)若过点的另一条直线与的渐近线交于点，，且，直线与圆相切，求直线的方程.

2 . 已知一系列圆，，，依次外切，且均与过原点的两条直线相切，记圆的半径为，且.若圆：，则__________.

3 . 在矩形中，，，为平面外一点，则（       ）

A．当时，四棱锥体积的最大值为

B．当时，四棱锥体积的最大值为

C．当平面平面时，四棱锥体积的最大值为

D．当平面平面时，四棱锥体积的最大值为

4 . 设函数，.
(1)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(2)证明：①当时，；
②，.（是自然对数的底数，）

5 . 某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过天___________.（参考数据：）

6 . 某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（       ）

A．72

B．108

C．216

D．432

7 . 设，若无穷数列满足以下性质，则称为数列：①，（且）．②的最大值为k．
(1)若数列为公比为q的等比数列，求q的取值范围，使得为数列．
(2)若数列满足：，使得成等差数列，
①数列是否可能为等比数列？并说明理由；
②记数列满足，数列满足，且，判断与的单调性，并求出时，n的值．

8 . 某抽奖系统中，抽得的物品可分为5星，4星和3星，其中一种抽奖种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下：

物品类别	5星	4星	3星
基础概率	0.600%	5.100%	94.300%

基础概率：在没有任何其他机制的影响下，单次抽奖抽中指定类别奖品的概率．
保底机制：现假定玩家从未进行过抽奖，则玩家抽取5星（或4星）的概率会随者未抽中5星（或4星）的次数增加而改变，相关机制如下表所示：

连续未抽中4星的次数i
下一次抽中4星的概率	5.100%
连续未抽中5星的次数i
下一次抽中5星的概率	0.600%

注：①表示中的最小值：
②抽中4星的概率和抽中5星的概率的增加值从抽中3星的概率中等量扣除；
③若发现下一次抽奖中，抽中4星的概率和抽中5星的概率的和大于1，则下一次抽奖抽中5星的概率等于表中的值（记为p），而抽中4星的概率为．
现记玩家获得1个5星物品所需要的最大抽奖次数为N；
(1)统计10名玩家抽到第一个五星的总次数和中途抽到四星的次数如下表所示：

玩家序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
总次数y	30	78	64	80	85	79	55	83	66	81
四星个数x	4	8	7	9	9	8	6	9	8	9

计算得：，已知y与x之间存在很强的线性相关关系，求出其线性回归方程，并求出使得最小的x（回归方程中的和取两位小数）
(2)若玩家恰好在第抽抽到了第1个5星物品，且总共抽到了2个4星物品，记玩家在第抽中第i个4星奖品，记集合，求A的所有可能的个数．
参考公式：回归直线方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．

9 . 设函数，设的最小值为M，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是__________．

10 . 把边长为1的实心正六面体磁性几何魔方按图方式分成12块：（1）取6条面上的对角线；（2）考虑以立方体中心为顶点，上述6条对角线及12条棱之一为对边的三角形；（3）这18个三角形把立方体切成了12块，每块是一个四面体，每个四面体有两条棱是立方体的棱；（4）每个四面体仅通过其上立方体的棱和其它四面体连接．

则在此玩具所有可能的形状中，其上两点之间空间距离的最大值为__________．