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1 . 若函数满足:对任意的实数,有恒成立,则称函数为“增函数”.
(1)求证:函数不是“增函数”;
(2)若函数是“增函数”,求实数的取值范围;
(3)设,若曲线在处的切线方程为,求的值,并证明函数是“增函数”.
(1)求证:函数不是“增函数”;
(2)若函数是“增函数”,求实数的取值范围;
(3)设,若曲线在处的切线方程为,求的值,并证明函数是“增函数”.
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解题方法
2 . 已知双曲线的一条渐近线方程为,点在上.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线,且与交于两点,与交于两点,为线段的中点,为线段的中点,证明:直线过定点.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线,且与交于两点,与交于两点,为线段的中点,为线段的中点,证明:直线过定点.
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解题方法
3 . 如图,在直三棱柱中,,,为的中点.(1)证明:平面;
(2)若二面角的余弦值为,求点到平面的距离.
(2)若二面角的余弦值为,求点到平面的距离.
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4 . 随着经济的发展,富裕起来的人们健康意识日益提升,越来越多的人走向公园、场馆,投入健身运动中,成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况,随机抽取400人进行调査,得到如下表的统计数据:
(1)根据表中数据,依据的独立性检验,能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联?
(2)现从50岁以上(含50)的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时,用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈,再从这8人中随机抽取3人填写调査问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为,求的分布列和数学期望.
参考公式及数据:,其中.
周平均锻炼时间少于5小时 | 周平均锻炼时间不少于5小时 | 合计 | |
50岁以下 | 80 | 120 | 200 |
50岁以上(含50) | 50 | 150 | 200 |
合计 | 130 | 270 | 400 |
(2)现从50岁以上(含50)的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时,用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈,再从这8人中随机抽取3人填写调査问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为,求的分布列和数学期望.
参考公式及数据:,其中.
0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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5 . 已知等差数列的公差,与的等差中项为5,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列的前20项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列的前20项和.
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6 . 如图所示,中,,分别是边上的点,,将沿折起,点折起后的位置记为点,得到四棱锥,则四棱锥体积的最大值为__________ .
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7 . 已知过点的动直线与圆交于两点,为的中点,则直线的斜率的取值范围是______ ,为坐标原点的取值范围为______ .
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解题方法
8 . 已知,则__________ .
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解题方法
9 . 已知函数是定义域为的可导函数,.若是奇函数,且的图象关于直线对称,则( )
A. |
B.曲线在点处的切线的斜率为2 |
C.是的导函数 |
D.的图象关于点对称 |
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10 . 加斯帕尔•蒙日(如图1)是18~19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆则被称为“蒙日圆”(如图2).已知矩形的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是( )
A.椭圆的离心率为 |
B.椭圆与椭圆有相同的焦点 |
C.椭圆的蒙日圆方程为 |
D.矩形的面积最大值为50 |
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