1 . 已知数列中，，．
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前项和为，求证．

3 . 已知正项数列，其中，且.
(1)设，证明：数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得为整数，若存在，请求出最小正整数；若不存在，请说明理由.

4 . 若有穷数列满足：，则称此数列具有性质．
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列为等差数列．

5 . 已知数列满足（且），且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：.

6 . 已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．

7 . 已知是数列的前项和，且满足，
(1)记，求证：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和

8 . 科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后得到，依次施行变换后所得到的数组成数列，是数列的前项和，若，则________．

9 . 在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，证明：.

10 . 已知数列的前项和为，，数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式与；
(2)设数列的前项和为，证明：．