1 . 在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列、、、为的一个项子列.
（1）试写出数列的一个项子列，并使其为等差数列；
（2）如果为数列的一个项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；
（3）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：
.

2 . 设△A_nB_nC_n的三边长分别为a_n,b_n,c_n，△A_nB_nC_n的面积为S_n，n=1,2,3,…
若b₁＞c₁，b₁＋c₁＝2a₁，a_n＋1＝a_n，b_n＋1＝，c_n＋1＝，则

A．{Sn}为递减数列

B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

3 . 已知数列，满足：．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，且．
① 记，求证：数列为等差数列；
② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．

4 . 已知数列：，如果数列：满足，其中，则称为的“衍生数列”.
（1）写出数列：，，，的“衍生数列”；
（2）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；
（3）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数
列的首项取出，构成数列：证明： 是等差数列.

5 . 已知集合．
⑴是否存在实数，使得集合中所有整数的元素和为28?若存在，求出，若不存在,请说明理由；
⑵以为首项，为公比的等比数列前项和记为，对任意，均有，求的取值范围.

6 . 已知数列为各项都是正数的等差数列，公差为，在之间和之间共插入个实数后，所得到的个数所组成的数列是等比数列，其公比为．
（1）若，求公差；
（2）若在之间和之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的个数的乘积（用表示）
（3）求证：是无理数．

7 . 设椭圆的离心率为，已知、，且原点到直线的距离等于.，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点的直线交椭圆于、两点，若存在动点，使得直线、、的斜率依次成等差数列，试确定点的轨迹方程.

8 . 已知函数.
(1)如果，求的单调区间和极值；
(2)如果，，，，函数在处取得极值．
(i)求证：；
(ii)求证：．