2 . 已知正项数列满足，（，）.
(1)写出，，并证明数列是等差数列；
(2)设数列满足，，求证：.

3 . 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：，设的前项的和为，求证：.

4 . 如图，已知曲线及曲线.从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.点的横坐标构成数列

（Ⅰ）试求与之间的关系，并证明：；
（Ⅱ）若，求证：.

5 . 已知数列满足，其中为的前项和．
（1）求，，的值；
（2）求证：是等比数列；
（3）证明：对任意，都有．

6 . 在数列中，，
（Ⅰ）求，判断数列的单调性并证明；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在常数，对任意，有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

7 . 在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列为等差数列；
（ⅱ）求数列的通项公式.
（Ⅱ）设数列的前项和为，证明：，．

8 . 已知函数，记，且，

(1)求，；
(2)设，，

（i）证明：数列是等差数列；

（ii）求数列的前n项和．

9 . 已知数列为等差数列，其中，，前n项和为，数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列中的任意三项均不能构成等比数列.

10 . 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：