3 . 已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，.
(1)写出，并求；
(2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列中的某一项，求及的值.

4 . 在概率较难计算但数据量相当大､误差允许的情况下，可以使用UnionBound（布尔不等式）进行估计概率.已知UnionBound不等式为：记随机事件，则.其误差允许下可将左右两边视为近似相等.据此解决以下问题：
(1)有个不同的球，其中个有数字标号.每次等概率随机抽取个球中的一个球.抽完后放回.记抽取次球后个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为，现在给定常数，则满足的的最小值为多少？请用UnionBound估计其近似的最小值，结果不用取整.这里相当大且远大于；
(2)然而实际情况中，UnionBound精度往往不够，因此需要用容斥原理求出精确值.已知概率容斥原理：记随机事件，则.试问在（1）的情况下，用容斥原理求出的精确的的最小值是多少（结果不用取整）？相当大且远大于.
（1）（2）问参考数据：当相当大时，取.

5 . 欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），
(1)求和；
(2)现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；
(3)设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值．

6 . 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：时，，.

7 . 日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．设，则为等比数列

D．设，则

8 . 已知在伯努利试验中，事件发生的概率为，我们称将试验进行至事件发生次为止，试验进行的次数服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则，

B．若，则，

C．若，，则

D．若，则当取不小于的最小正整数时，最大

9 . 有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类分别中个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列．

(1)求上述个不尽相异的元素的全排列数．
(2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？”

10 . 某学校组织竞赛，有A，B，C三类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错只有2分，C问题答对得4分，答错0分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对3种问题的概率均为0.5，小明答对A，B，C问题的概率分别为0.3，0.7，0.5.

(1)小红一共参与回答了3题，且该题分为为、和这类题，记X为小红的累计得分，求X的分布列；
(2)小明也参与回答了3道问题，3道问题可以是同一类，也可以不是同一类，记Y为小明的累计得分，求该如何分配问题，使得E[Y]最大.