1 . 用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设______.

2 . 数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行:
（1）（归纳奠基）证明当________时命题成立;
（2）（归纳递推）以“当________时命题成立”为条件，推出“当________时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

4 . 下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.若第1个图中的三角形的面积为1，则第个图形的面积为__________.

5 . 若表示从左到右依次排列的8盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：
（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；
（2）灯在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作，
如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要________次操作；
如果除灯外，其余7盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要________次操作，

6 . 若表示自然数的最大奇因数，例如，，，记（为自然数），则______.，的通项公式为______.

7 . 利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式__________.

8 . 在正三角形中，由可得到三角恒等式，其中，以此类推，在正边形中，可得到三角恒等式______；

9 . 中，，作，点为垂足，为在上的射影，为在上的射影，则有成立．直角四面体（即）中，点为点在平面内的射影，的面积分别为，且在平面内的射影分别为、，其面积分别为的面积记为，类比直角三角形中的射影结论，在直角四面体中可得到的正确结论为______．（写出一个正确结论即可）．