1 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫．欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公式:，其中表示虚数单位，是自然对数的底数．数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘，试回答下列问题：
(1)试证明欧拉公式．
(2)利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解．
①；②；
(3)求出角度的倍角公式(用表示，)．

3 . 记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为.已知复数具有运算性质:，其中.
(1)当时，记的取值为，求的分布列;
(2)当时，求满足的概率;
(3)求的概率.

4 . 数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．
两个四元数的乘法定义为：,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设,四元数．记表示的共轭四元数．
（i）计算；
（ii）若，求；
（iii）若，证明：；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象．设．
（i）证明：;
（ii）若是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量．

5 . 设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．
(1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；
(2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
(3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．