名校
1 . 若集合
，集合
，其中
，则称集合
是集合
的一个“
元子集”.若“元子集”中的元素
满足对任意
，恒有
，则称为的一个“个性独立子集”.已知集合
，集合
是
的一个“个性独立子集”.
(1)求所有满足条件的集合的个数；
(2)若
且互不相等，证明：
为定值.
，集合，其中，则称集合是集合的一个“元子集”.若“元子集”中的元素满足对任意，恒有，则称为的一个“个性独立子集”.已知集合，集合是的一个“个性独立子集”.(1)求所有满足条件的集合
的个数；(2)若
且互不相等，证明：为定值.
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名校
2 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意
，都有
或
，则称A为自邻集．记集合
的所有子集中的自邻集的个数为
．
(1)直接写出
的所有自邻集；
(2)若n为偶数且
，求证：
的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若
，求证：
．
，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为．(1)直接写出
的所有自邻集；(2)若n为偶数且
，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若
，求证：．
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2024-03-12更新
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428次组卷
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2卷引用：北京市第八中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题
3 . 若集合
的非空子集
满足：对任意给定的
，若
，有
，则称子集是
的“好子集”.记
为的好子集的个数.例如：
的7个非空子集中只有
不是好子集，即
.记
表示集合的元素个数.
(1)求
的值；
(2)若是的好子集，且
.证明：中元素可以排成一个等差数列；
(3)求
的值.
的非空子集满足：对任意给定的，若，有，则称子集是的“好子集”.记为的好子集的个数.例如：的7个非空子集中只有不是好子集，即.记表示集合的元素个数.(1)求
的值；(2)若
是的好子集，且.证明：中元素可以排成一个等差数列；(3)求
的值.
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名校
解题方法
4 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合
的所有子集中的自邻集的个数为.
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若为偶数且
，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：.
，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.(1)直接写出
的所有自邻集；(2)若
为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若
，求证：.
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2023-05-28更新
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689次组卷
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11卷引用：北京市西城区2021届高三5月二模数学试题
北京市西城区2021届高三5月二模数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二上学期期中检测数学试题北京市第二十中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题北京一零一中学2023届高三下学期数学统练四试题北京卷专题02集合（解答题）北京市第一0一中学2022-2023学年高三下学期统练数学试卷（四）（已下线）高一上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-举一反三系列北京市北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题北京市东城区景山学校2024届高三上学期12月月考数学试题北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）
名校
5 . 设
，已知由自然数组成的集合
，集合
，
，…，
是
的互不相同的非空子集，定义
数表：
，其中
，设
，令
是
，
，…，
中的最大值．
(1)若
，
，且
，求，，
及；
(2)若
，集合，，…，中的元素个数均相同，若
，求的最小值；
(3)若
，
，集合，，…，
中的元素个数均为3，且
，求证：的最小值为3．
，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：，其中，设，令是，，…，中的最大值．(1)若
，，且，求，，及；(2)若
，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；(3)若
，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
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2023-07-10更新
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601次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题
北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型40题专项训练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）（已下线）高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列
名校
解题方法
6 . 已知集合
，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得
，则称集合M是“关联的”，并称集合
是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”.
(1)分别判断集合
与
是“关联的”还是“独立的”？
(2)写出（1）中“关联的”集合的所有的“关联子集”；
(3)已知集合
是“关联的”，且任取集合
，总存在M的“关联子集”A，使得
.若
，求证：
，
，
，
，
是等差数列.
，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得，则称集合M是“关联的”，并称集合是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”.(1)分别判断集合
与是“关联的”还是“独立的”？(2)写出（1）中“关联的”集合的所有的“关联子集”；
(3)已知集合
是“关联的”，且任取集合，总存在M的“关联子集”A，使得.若，求证：，，，，是等差数列.
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2022-05-02更新
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592次组卷
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2卷引用：北京理工附中2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
7 . 已知
为等差数列，公差为d，
是公比为2的等比数列，且
，
．
(1)证明：
；
(2)求集合
的子集个数．
为等差数列，公差为d，是公比为2的等比数列，且，．(1)证明：
；(2)求集合
的子集个数．
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名校
解题方法
8 . 设自然数
，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合
满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
(1)试分别判断在集合
与
是否具有性质P，不必说明理由；
(2)已知集合具有性质P．
①记
，求证：对于任意正整数
，都有
；
②令
，
，求证：
；
(3)在（2）的条件下，求
的最大值．
，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．(1)试分别判断在集合
与是否具有性质P，不必说明理由；(2)已知集合
具有性质P．①记
，求证：对于任意正整数，都有；②令
，，求证：；(3)在（2）的条件下，求
的最大值．
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9 . 对于正整数
，
，存在唯一一对整数
和
，使得
，
.特别地，当
时，称能整除，记作
，已知
(1)存在
，使得
，试求的值；
(2)求证.不存在这样的函数
：
，使得对任意的整数
，
，若
，则
(3)若
，
（
指集合中的元素的个数）.且存在
，
，，则称为“和谐集”.判断：当时，集合中有12个元素并且含有
的任意子集是否都为“和谐集”，并说明理由.
，，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知(1)存在
，使得，试求的值；(2)求证.不存在这样的函数
：，使得对任意的整数，，若，则(3)若
，（指集合中的元素的个数）.且存在，，，则称为“和谐集”.判断：当时，集合中有12个元素并且含有的任意子集是否都为“和谐集”，并说明理由.
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2022-04-09更新
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211次组卷
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2卷引用：北京市第五中学2021-2022学年高一3月第一次阶段检测数学试题
名校
10 . 设集合
，集合
，如果对于任意元素
，都有
或
，则称集合
为的自邻集.记
为集合的所有自邻集中最大元素为
的集合的个数.
（1）直接判断集合
和
是否为
的自邻集；
（2）比较
和
的大小，并说明理由；
（3）当时，求证：
.
，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数.（1）直接判断集合
和是否为的自邻集；（2）比较
和的大小，并说明理由；（3）当
时，求证：.
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2021-07-15更新
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890次组卷
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7卷引用：北京市八一学校2020-2021学年高一下学期期末数学试题
北京市八一学校2020-2021学年高一下学期期末数学试题（已下线）1.2 集合间的基本关系-2021-2022学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）（已下线）期末重难点突破专题01-【尖子生专用】2021-2022学年高一数学考点培优训练（人教A版2019必修第一册）（已下线）第1章 集合与常用逻辑用语（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（已下线）高一上学期期中考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题 （已下线）专题01 集合与常用逻辑用语3-寒假作业单元合订本
