1 . 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.

2 . 若数列在某项之后的所有项均为一常数，则称是“最终常数列”.已知对任意，函数和数列满足.
(1)当时，证明：是“最终常数列”；
(2)设数列满足，对任意正整数.若方程无实根，证明：不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数，；
(3)若不是“最终常数列”，求的取值范围.

4 . 若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．
(1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．

8 . （1）在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：

	0
	0
	1

（2）设实数且，求证：；（可以使用公式：）
（3）证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是

9 . 定义三边长分别为a，b，c，则称三元无序数组为三角形数．记D为三角形数的全集，即．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)若锐角内接于圆O，且，设．
①若，求；
②证明：．

10 . 四棱锥满足下列条件之一：
（1）各侧面都是正三角形．
（2）各侧面都是全等的等腰三角形．
（3）各侧面的斜高相等．
（4）各侧面与底面所成角相等．
（5）各侧棱与底面所成角相等．
（6）各侧面都是等腰三角形且底面是正方形．
（7）相邻侧面所成的二面角都相等．
（8）相邻侧棱所成的角都相等．
问：哪几个条件是四棱锥成为正四棱锥的充要条件？哪几个是充分不必要条件？哪几个是必要不充分条件？说明理由．