1 . 设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是.

2 . 设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.

3 . 求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）.

4 . 求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.

5 . 已知是实数，且满足，证明下列命题:
(1)“”是“”的充要条件；
(2)“”是“”的充分条件.

6 . 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.

   

(1)证明：平面的充要条件是；
(2)求二面角的正弦值的取值范围．

7 . 已知
(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；
(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．

8 . 若数列满足：，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.
(1)若X数列中，，，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个X数列，为的伴随数列.
①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②求的最大值.

9 . 记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令．
(1)若，请写出的值；
(2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；
(3)若，求证：存在，使得，有．