解题方法
1 . 函数
、
的定义域均为
，若对任意两个不同的实数
，
，均有
或
成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数
与
是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知
与
为相关函数对，求实数
的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数
，对任意实数
，均有
.求证：存在实数
，使得对任意
，均有
.
、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.(1)判断函数
与是否为相关函数对，并说明理由；(2)已知
与为相关函数对，求实数的取值范围；(3)已知函数
与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.
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2024-05-23更新
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502次组卷
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3卷引用：湖北省普通高校招生2024届高三下学期分区考前数学适应性训练（一）
解题方法
2 . “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为
．设点
，
，
，规定
，且对于运算“
”，
表示坐标为
的点．若点U，V，W满足
，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数
和
，使得对于
图像上任意一点T，
均在
图像上，则称为的镜像函数．
(1)若点
，
，且N~M，求
的坐标；
(2)证明：若
为
的镜像函数，
，则
；
(3)已知函数
，
为
的镜像函数．设R~S，且
．证明：
．
．设点，，，规定，且对于运算“”，表示坐标为的点．若点U，V，W满足，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数和，使得对于图像上任意一点T，均在图像上，则称为的镜像函数．(1)若点
，，且N~M，求的坐标；(2)证明：若
为的镜像函数，，则；(3)已知函数
，为的镜像函数．设R~S，且．证明：．
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解题方法
3 . 欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合
，欧拉函数
的值等于集合
中与n互质的正整数的个数；记
表示x除以y的余数（x和y均为正整数），
(1)求
和
；
(2)现有三个素数p，q，
，
，存在正整数d满足
；已知对素数a和
，均有
，证明：若
，则
；
(3)设n为两个未知素数的乘积，
，
为另两个更大的已知素数，且
；又
，
，，试用
，
和n求出x的值．
，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），(1)求
和；(2)现有三个素数p，q，
，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；(3)设n为两个未知素数的乘积，
，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值．
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4 . 我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积
，其中
，
．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线
可以表示为
，曲线
可以表示为
，那么阴影区域的面积
，其中
．
在区间
与
的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间
与
的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设
．求
的值；
上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为
，求切线方程；
(3)正项数列
是以公差为d（d为常数，
）的等差数列，
，两条抛物线
，
记它们交点的横坐标的绝对值为
，两条抛物线围成的封闭图形的面积为
，求证：
．
，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．
在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；
上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；(3)正项数列
是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．
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5 . 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从
沿曲线段运动到
点时，点的切线
也随着转动到点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义
为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，
就越能精确刻画曲线
在点处的弯曲程度，因此定义
（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中
，
分别表示在点处的一阶､二阶导数）
的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点
处的曲率是多少？
(2)若函数
，不等式
对于
恒成立，求
的取值范围；
(3)若动点的切线沿曲线
运动至点
处的切线，点的切线与
轴的交点为
.若
，
，
是数列的前
项和，证明
.
上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数）
的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？(2)若函数
，不等式对于恒成立，求的取值范围；(3)若动点
的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明.
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名校
解题方法
6 . 已知函数
，
，且
(1)若
，且
，试比较
与
的大小关系，并说明理由；
(2)若
，且
，证明：
（i）
；
（ii）
.
（参考数据：
）
，，且(1)若
，且，试比较与的大小关系，并说明理由；(2)若
，且，证明：（i）
；（ii）
.（参考数据：
）
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名校
解题方法
7 . 已知函数
的最大值为，正实数、满足
.
（1）求
的最小值；
（2）求证：
.
的最大值为，正实数、满足.（1）求
的最小值；（2）求证：
.
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解题方法
8 . 已知二次函数
对任意实数，都有
恒成立.
(1)证明：
；
(2)若
，求的表达式；
(3)在题（2）的条件下设
，若
图象上的点都位于直线
的上方，求实数
的取值范围.
对任意实数，都有恒成立.(1)证明：
；(2)若
，求的表达式；(3)在题（2）的条件下设
，若图象上的点都位于直线的上方，求实数的取值范围.
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2012·江西宜春·三模
解题方法
9 . 已知函数
．
(1)证明函数
的图像关于点
对称；
(2)若
，求；
(3)在(2)的条件下，若
，为数列
的前项和，若
对一切
都成立，试求实数的取值范围．
．(1)证明函数
的图像关于点对称；(2)若
，求；(3)在(2)的条件下，若
，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围．
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10 . 已知
.
(1)若有两个零点，求的范围；
(2)若有两个极值点，求的范围；
(3)在（2）的条件下，若的两个极值点为，
，求证：
.
.(1)若
有两个零点，求的范围；(2)若
有两个极值点，求的范围；(3)在（2）的条件下，若
的两个极值点为，，求证：.
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2018-02-17更新
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1306次组卷
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2卷引用：湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2018届高三2月联考数学（文）试题2
