1 . 已知定义在R上的函数与.
（1）对于任意满足的实数p，q，r均有并判断函数的奇偶性，并说明理由
（2）函数与（均为奇函数，在上是增函数，在上是增函数，试判断函数与在R上是否是增函数？如果是请证明，如果不是请说明理由.
（3）函数与均为单调递增的一次函数，为整数当且仅当为整数.求证：对一切，为整数.

2 . 对于定义在R上的函数，可以证明“点是的图像的一个对称中心”的充要条件是“，”．
（1）求函数的图像的一个对称中心；
（2）函数（a、在R上是奇函数，求a、b满足的条件；并讨论在区间上是否存在常数a，使得恒成立．

3 . 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．
（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；
（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．

4 . 设．
（1）求证：在区间和上均为单调递减函数；
（2）问：在区间上是否为单调递减函数？为什么？
（3）推广至一般结论，讨论函数（k为非零常数）的单调性．

5 . 如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为函数．例如：就是函数．
（1）下列函数：①，②，③中，哪些是函数（只需写出判断结果）？
（2）判断函数是否为函数，并证明你的结论．
（3）证明：对于任意实数a，b，函数都不是函数．
（注：“”表示不超过x的最大整数）

6 . 对于定义在实数集上的函数，若存在常数，使得任意的都有，则函数的图象关于轴上的点对称．
（1）若是上单调函数且其图象关于点对称，证明：函数有唯一零点；
（2）已知函数，证明：函数的图象关于轴上的点对称，并求出点的坐标．