1 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：是函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.

2 . 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.
(1)求，的值；
(2)用函数单调性的定义证明在上单调递增；
(3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.

3 . 已知函数．
(1)证明：的定义域与值域相同．
(2)若，，，求m的取值范围．

4 . 已知函数，其中且．
(1)求的值，判断的奇偶性并证明；
(2)函数有零点，求的取值范围．

5 . 已知函数过点．
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)求函数在上的最大值和最小值．

6 . 已知_____，且函数函数在定义域为上为偶函数；函数在区间上的最大值为在，两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出的值，并解答本题．
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设，对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

7 . 已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明；
(2)若，求函数的最大值和最小值.

8 . 已知函数，且.
(1)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明；
(2)求在上的值域.

9 . 已知定义在区间上的函数.
(1)求函数的零点；
(2)若方程有四个不相等的实数根，证明：；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.

10 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意，存在正实数，，使得恒成立，证明：．