1 . 我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)若函数的图象关于点对称，证明：；
(3)已知函数，其中，若正数，满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

2 . 已知函数，，且，若，，设，．
(1)求函数的解析式并判断其奇偶性；
(2)判断函数的单调性（不需证明），并求不等式的解集．

3 . 函数满足，函数的图象关于点对称，求的值.

4 . 已知定义域为的函数是奇函数且为减函数.
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

5 . 已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质．
(1)判断下列函数是否具有性质？并说明理由；
①；②．
(2)若函数具有性质，求的最小值；

6 . 已知函数的图象关于原点对称.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

7 . 已知函数，求证：为周期函数.

8 . 用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，且已知用个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．
(1)根据题意，直接写出函数应该满足的条件和具有的性质；
(2)设，现用（）个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由；
(3)若满足题意，直接写出一组参数的值．

9 . 已知函数．
(1)若函数在R上单调递减，求实数a的取值范围．
(2)若函数为奇函数．
①求实数a的值；
②若不等式恒成立，求实数t的范围．

10 . 如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间.
(1)若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由；
(2)已知函数，其中且，，.
①当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；
②证明：当，时，函数不存在等域区间.