解题方法
1 . 在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数
，当
时，
，且满足：
，均有
(1)证明：在
上单调递增；
(2)若函数
满足上述函数的特征，求实数
的取值范围；
(3)若
，求证：对任意
，都有
．
，当时，，且满足：，均有(1)证明：
在上单调递增；(2)若函数
满足上述函数的特征，求实数的取值范围；(3)若
，求证：对任意，都有．
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解题方法
2 . 已知函数
(1)求证：用单调性定义证明函数是
上的严格减函数；
(2)已知“函数的图像关于点
对称”的充要条件是“
对于定义域内任何
恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若对任意
，都存在
及实数
，使得
，求实数
的最大值.
(1)求证：用单调性定义证明函数
是上的严格减函数；(2)已知“函数
的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；(3)若对任意
，都存在及实数，使得，求实数的最大值.
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解题方法
3 . 设
，函数
.
(1)若
，求证：函数
是奇函数；
(2)若
，判断并证明函数的单调性；
(3)设
，
，若存在实数m，n（
），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是
，求
的取值范围.
，函数.(1)若
，求证：函数是奇函数；(2)若
，判断并证明函数的单调性；(3)设
，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.
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2022-01-21更新
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713次组卷
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8卷引用：江苏省南通市通州、海安2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题
江苏省南通市通州、海安2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题（已下线）【新东方】在线数学35上海市控江中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题江苏省南通市通州区金沙中学2020-2021学年高一上学期第二次调研考试数学试题四川省四川师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题（已下线）第13讲 函数的基本性质（8大考点）（3）（已下线）第13讲 函数的基本性质（8大考点）（2）（已下线）专题14函数的基本性质-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）
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4 . 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（xy）=y•f（x）．
（1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；
（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明；
（3）若a＞b＞c＞1，且
，求证：f（a）•f（c）＜[f（b）]2．
（1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；
（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明；
（3）若a＞b＞c＞1，且
，求证：f（a）•f（c）＜[f（b）]2．
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5 . 设函数
，
，
，
.
（1）用函数单调性的定义证明：函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增；
（2）若对任意满足
的实数
，都有
成立，求证：
.
，，，.（1）用函数单调性的定义证明：函数
在区间上单调递减，在上单调递增；（2）若对任意满足
的实数，都有成立，求证：.
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2019-02-03更新
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742次组卷
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2卷引用：【市级联考】河北省保定市2018-2019学年高一第一学期期末调研考试数学试题
解题方法
6 . 定义在R上的函数
，对任意x，
都有
，且当时，.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：为R上的增函数；
(3)已知
解关于x的不等式
，
.
，对任意x，都有，且当时，.(1)求证：
为奇函数；(2)求证：
为R上的增函数；(3)已知
解关于x的不等式，.
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解题方法
7 . 已知函数满足：对
，都有
，且当
时，
函数
．
(1)求实数的值，并写出函数
在区间
的零点
无需证明
；
(2)函数
，
，是否存在实数
，使得
恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
满足：对，都有，且当时，函数．(1)求实数
的值，并写出函数在区间的零点无需证明；(2)函数
，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
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解题方法
8 . 函数
（且
）是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值，并判断
的单调性，并证明；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
（且）是定义在R上的奇函数．(1)求a的值，并判断
的单调性，并证明；(2)若存在
，使得成立，求实数的取值范围．
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2024-01-30更新
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458次组卷
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3卷引用：广东省广州二中2023-2024学年高一上学期期末数学试题
解题方法
9 . 已知函数
，
，其中
.
(1)判断并证明的单调性；
(2)①设
，
，求的取值范围，并把
表示为的函数
；
②若对任意的
，总存在
使得
成立，求实数
的取值范围.
，，其中.(1)判断并证明
的单调性；(2)①设
，，求的取值范围，并把表示为的函数；②若对任意的
，总存在使得成立，求实数的取值范围.
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10 . 若函数与
满足：对任意
，都有
，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合
上的“约束函数”.
(1)若
，
，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若
，
，
，求实数a的取值范围；
(3)若为严格减函数，
，，且函数的图象是连续曲线，求证：是
上的严格增函数.
与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”.(1)若
，，判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若
，，，求实数a的取值范围；(3)若
为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
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