真题
名校
1 . 已知函数
，
.
（1）求证：
是奇函数并求的单调区间；
（2）分别计算
合
的值，由此概括出涉及函数和
的对所有不等于零的实数
都成立的一个式，并加以证明.
，.（1）求证：
是奇函数并求的单调区间；（2）分别计算
合的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个式，并加以证明.
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2019-10-30更新
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390次组卷
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3卷引用：2003 年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷）
解题方法
2 . 对勾函数是形如
的函数，其中为自变量，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数
，在区间
上的单调性是：在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
(1)若对勾函数
，根据函数单调性的定义证明在区间
上单调递增；
(2)若对勾函数，写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数的图象.
(3)已知对勾函数
，
，二次函数
，设的最大值为
，若
，
，求实数
的取值范围
的函数，其中为自变量，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数，在区间上的单调性是：在区间上单调递减，在区间上单调递增.(1)若对勾函数
，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；(2)若对勾函数
，写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数的图象. (3)已知对勾函数
，，二次函数，设的最大值为，若，，求实数的取值范围
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解题方法
3 . 函数
的图象过点
(1)求实数
的值，并判断函数的奇偶性；
(2)利用单调性定义证明在区间
上是增函数；
(3)直接写出函数的单调递减区间
的图象过点(1)求实数
的值，并判断函数的奇偶性；(2)利用单调性定义证明
在区间上是增函数；(3)直接写出函数
的单调递减区间
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名校
解题方法
4 . 函数
的图像如图所示.
(1)根据图像写出的单调区间；
(2)判断函数的奇偶性，并证明的结论；
(3)求函数在区间
上的最小值．（其中
）
的图像如图所示.(1)根据图像写出
的单调区间；(2)判断函数
的奇偶性，并证明的结论；(3)求函数
在区间上的最小值．（其中）
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名校
5 . 已知函数
．
(1)若
，求函数的定义域，并指出其单调区间（不需要证明）：
(2)若在区间
单调递减，求实数k的取值范围；
(3)若方程
在
上有两个不相等的实根，求k的取值范围．
．(1)若
，求函数的定义域，并指出其单调区间（不需要证明）：(2)若
在区间单调递减，求实数k的取值范围；(3)若方程
在上有两个不相等的实根，求k的取值范围．
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解题方法
6 . 已知函数
，
(1)当
时，求函数
的单调递增区间（不必写明证明过程）；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)当
时，若对任意的
，恒有
成立，求
的最大值.
，(1)当
时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）；(2)判断函数
的奇偶性，并说明理由；(3)当
时，若对任意的，恒有成立，求的最大值.
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解题方法
7 . 已知函数
．
(1)在同一坐标系中画出函数
，
的图象；
(2)定义：对
，
表示与
中的较小者，记为
，分别用函数图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）．
．(1)在同一坐标系中画出函数
，的图象；(2)定义：对
，表示与中的较小者，记为，分别用函数图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）．
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解题方法
8 . 判断函数
的单调递减区间并加以证明.
的单调递减区间并加以证明.
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真题
9 . 已知函数
（a为正常数），且函数与的图象在y轴上的截距相等．
(1)求a的值；
(2)求函数
的单调递增区间；
(3)若n为正整数，证明：
．
（a为正常数），且函数与的图象在y轴上的截距相等．(1)求a的值；
(2)求函数
的单调递增区间；(3)若n为正整数，证明：
．
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解题方法
10 . 已知函数
.
(1)画出函数
的图象；并写出函数的单调递增区间；
(2)若函数
，求证：
.
.(1)画出函数
的图象；并写出函数的单调递增区间；(2)若函数
，求证：.
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