1 . 已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)若有两个不相等的实根，且
①求的取值范围；
②证明：．

2 . 已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．

3 . 已知为数列的前项积，且，是公比为的等比数列，设.
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求使的最大整数.

4 . 设函数的定义域为，对于区间，若满足，则称区间为函数的区间.
(1)证明：区间是函数的区间；
(2)已知函数在区间上的图象连续不断，且在上仅有个零点，证明：区间不是函数的区间.

5 . 已知函数满足.
(1)求a的值；
(2)若函数，证明：.

6 . 一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比．
(1)分别求2分钟，3分钟后的水温；
(2)记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(3)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）

7 . 已知函数.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）设，函数.
（i）若，证明：；
（ii）若，求的最大值.

8 . 已知函数(，且).
（1）判断函数的奇偶性，并予以证明；
（2）求使的x的取值范围.

9 . 已知函数（且）.
（1）判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）当时，判断函数在上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

10 . 已知函数．
（1）求函数的定义域 ；
（2）判断的奇偶性并加以证明;
（3）若在上恒成立，求实数的范围.