1 . 已知函数.
(1)求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标；
(2)令函数，当时，证明：函数在区间上有零点.

2 . 已知两条水平直线：和：（其），且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）．
(1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：；
(2)当时，求m的值；
(3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值．

3 . 已知函数．
(1)证明函数的图象过定点；
(2)设，且，讨论函数在上的最小值．

4 . 设、、均为正数．
(1)若，求证：；
(2)若，求、、之间的关系．

5 . 如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数的图象交于C，D两点．

(1)证明O，C，D三点在同一条直线上；
(2)当轴时，求A点的坐标．

6 . 如图，过函数的图像上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为M，，线段BN与函数，的图像交于点C，且AC与轴平行.

（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求的最小值；
（3）已知，，若，为区间内任意两个变量，且，求证：.

7 . 已知函数是定义在实数上的偶函数，且，当，时，，函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明：对任意，都有；
（3）在同一坐标系中作出与的大致图象并判断其交点的个数．

8 . 已知函数．
（1）画出函数的草图，并根据草图求出满足的x的集合；
（2）若，且，求证：．

9 . 已知函数.

（1）请写出（不必证明）函数的定义域、奇偶性、单调性、值域，并画出图象；
（2）设任意的，试猜测与的大小关系，并证明你的结论.