1 . 已知函数，．
(1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；
(2)函数在区间上的所有极值之和为，证明：对于．

2 . 已知函数，的导函数为.
(1)当时，解不等式；
(2)判断的零点个数；
(3)证明：.

3 . 对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即
(1)设函数，求A和B；
(2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；
(3)若，且，求实数a的取值范围.

4 . 已知是函数的一个零点，且．
(1)求的解析式；
(2)利用函数单调性的定义证明：在上是增函数．

5 . 已知函数，且．
(1)求证：函数有两个不同的零点；
(2)设是函数的两个不同的零点，求的取值范围

6 . 已知函数为奇函数，且方程有且仅有一个实根.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数.求证：函数为偶函数.

7 . 已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明在上单调递增；
（2）设函数，求使函数有唯一零点的实数的值；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

8 . 已知函数．
（1）若，求函数的零点；
（2）探索是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说明理由．

9 . 已知函数，.
（1）若是方程的根，证明是方程的根；
（2）设方程，的根分别是，求的值.

10 . 已知函数.
（1）当时，判断在上的单调性并证明；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）讨论函数的零点个数.