1 . 已知函数 ．
(1)若 ，求函数的零点；
(2)探索是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说明理由.

2 . 已知，
(1)用分段函数表示的解析式，作出其图象；并指出函数的定义域与值域，单调区间；
   
(2)解不等式；
(3)讨论直线与图象的交点个数，并写出实数a的取值范围（不需要证明）．

3 . 已知函数，其中.
(1)若，求解方程；
(2)求当时，函数的零点；
(3)求证：当时，函数至多只有一个零点.

4 . 已知函数，（，）
(1)若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点；
(2)若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.

5 . 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，，，都有≥成立，则称函数为理想函数.
(1)判断函数()是否为理想函数，并予以证明；
(2)若函数为理想函数且，求的值；
(3)已知函数为理想函数，若，使得，求的值.

6 . 已知函数，．
(1)证明：当时，函数，的图象只有一个交点；
(2)设A是函数，的交点，证明曲线在点A处的切线也是曲线的切线．

7 . 已知函数（，且）满足.
(1)求a的值；
(2)求证：在定义域内有且只有一个零点，且.

8 . 已知定义在区间上的函数．
(1)求函数的零点；
(2)若方程有四个不等实根，且，证明．

9 . 已知函数.
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：.

10 . 已知函数，.
（1）当时，
（i）求在上的值域；
（ii）证明：函数在上只有一个零点；
（2）试讨论在上的零点个数.