1 . 已知函数.
(1)若，且，求的取值范围；
(2)若在上有零点，求证：当时，.

2 . 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若轨迹与圆相交于、、、四个点，求的取值范围；
(3)已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点.

3 . 已知二次函数满足对任意实数x，不等式恒成立.
（1）求的值；
（2）若该二次函数与x轴有两个不同的交点，其横坐标分别为､.
①求a的取值范围；
②证明：为定值.

4 . 已知函数，，．
(1)利用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
(2)若函数恰有两个零点，求m的取值范围．

5 . 求证：一元二次方程有两个实数根，且有一根为的充要条件是．

6 . 已知函数．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)若存在α，，使得函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围．

7 . 已知二次函数（且）的图象与x轴有两个不同的交点，且其中一个交点的横坐标为c，当时，该二次函数的图象恒在x轴上方.
(1)证明：是一元二次方程的另一个根；
(2)试比较与的大小.

8 . 已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；
（2）令，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；

9 . 已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，用函数单调性定义证明在上单调递减；
(3)设，若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围.

10 . 对于函数，当时，的取值范围是，则称为的“倍跟随区间”，当时，称是函数的“保值区间”.
(1)求证：是函数的一个“保值区间”；
(2)求证：函数不存在“保值区间”；
(3)若函数存在“倍跟随区间”，求的取值范围.