1 . 如图1，抛物线上任意两点连接所得的弦与抛物线围成一个弓形区域，求抛物线弓形区域的面积是古希腊数学家阿基米得最优美的成果之一，阿基米德的计算方法是：将弓形区域分割成无数个三角形，然后将所有三角形的面积加起来就可以得到弓形区域的面积．第一次分割，如图2，在弓形区域里以
为底边分割出一个三角形
，确保过顶点
的抛物线
的切线与底边平行，
称为一级三角形；第二次分割，如图3，以，两个边
，
为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两个三角形
，
，确保过顶点
，
的抛物线的切线分别与，平行，，都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面积的
．设抛物线的方程为
，直线的方程为
，请你根据上述阿基米德的计算方法，求经过
次分割后得到的所有三角形面积之和为__________ ．
为底边分割出一个三角形，确保过顶点的抛物线的切线与底边平行，称为一级三角形；第二次分割，如图3，以，两个边，为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两个三角形，，确保过顶点，的抛物线的切线分别与，平行，，都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面积的．设抛物线的方程为，直线的方程为，请你根据上述阿基米德的计算方法，求经过次分割后得到的所有三角形面积之和为
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2 . 在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率
的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数
“近似计算”
的值为__________ （结果用分数表示）.
边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数“近似计算”的值为
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3 . 牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取
作为r的初始近似值，作曲线
在点
处的切线
，设与x轴交点的横坐标为
，并称为r的1次近似值；作曲线在点
处的切线
，设与x轴交点的横坐标为
，并称为r的2次近似值．一般地，作曲线在点
处的切线
，记与x轴交点的横坐标为：
，并称为r的
次近似值．设函数
的零点为r，取
，则r的2次近似值为______ ．
作为r的初始近似值，作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的2次近似值．一般地，作曲线在点处的切线，记与x轴交点的横坐标为：，并称为r的次近似值．设函数的零点为r，取，则r的2次近似值为
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4 . 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设
，则曲线在点
处的切线方程为__________ ，用此结论计算
__________ .
边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设，则曲线在点处的切线方程为
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5 . 令
，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点
处作抛物线的切线，交x轴于
；
在点处作抛物线的切线，交x轴于
；
在点
处作抛物线的切线，交x轴于
；
由此能得到一个数列
．
（1）设
，则
_____________ ；
（2）用二分法求方程
在区间
上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到牛顿切线法的求解速度为_____________ ．
，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点
处作抛物线的切线，交x轴于；在点
处作抛物线的切线，交x轴于；在点
处作抛物线的切线，交x轴于；由此能得到一个数列
．（1）设
，则（2）用二分法求方程
在区间上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到牛顿切线法的求解速度为
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6 . 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一般地，过点
作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值．若
，取
作为r的初始近似值，则
的正根的二次近似值为______ ．若
，
，设
，
，数列
的前n项积为
．若任意，
恒成立，则整数
的最小值为______ ．
的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值．若，取作为r的初始近似值，则的正根的二次近似值为，，设，，数列的前n项积为．若任意，恒成立，则整数的最小值为
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解题方法
7 . 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数
在闭区间
上的图象连续不间断，在开区间
内的导数为
，那么在区间内至少存在一点
，使得
成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数
在
上的“拉格朗日中值点”的个数为___________ .
在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为
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2022-11-02更新
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349次组卷
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3卷引用：江西省临川第一中学2023届高三上学期期中考试数学（文）试题
名校
8 . 中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算
，所得的结果用分数表示为__________ ．
，所得的结果用分数表示为
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2022-10-22更新
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504次组卷
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5卷引用：四川省巴中市南江中学2022-2023学年高三上学期10月阶段考试数学（理）试题
名校
9 . 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设
，则曲线在点
处的切线方程为______ ；用此结论近似计算
的值为______ ．
边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则曲线在点处的切线方程为的值为
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2022-01-02更新
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838次组卷
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4卷引用：海南省海口市海南华侨中学2022届高三12月月考数学试题
海南省海口市海南华侨中学2022届高三12月月考数学试题海南省海南华侨中学2022届高三上学期第五次月考数学试题2023版 苏教版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第十三单元 导数的概念、导数的运算 B卷（已下线）第十章 导数与数学文化 微点1 导数与数学文化（一）
名校
10 . 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程
的根就是函数
的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为
在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到
，它们越来越接近r.若
，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________ （结果保留两位小数）.
的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为
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2021-12-09更新
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1935次组卷
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5卷引用：广东省广州市真光中学2022届高三上学期11月月考数学试题
广东省广州市真光中学2022届高三上学期11月月考数学试题（已下线）热点01 数学传统文化和实际民生为载体的创新题-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（已下线）第5章 一元函数的导数及其应用（新文化与压轴30题专练）-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）（已下线）专题9 牛顿浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期4月统一测试数学试题
