1 . 已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若在处取得极小值，求实数a的取值范围．

2 . 已知函数.
(1)求的极值；
(2)证明：.

3 . 已知函数（）.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数的图象与x轴相切，求证：.

4 . 记函数（）的最小正周期为T，给出下列三个命题：
甲：；
乙：在区间上单调递减；
丙：在区间上恰有三个极值点．
若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是________（填“甲”、“已”或“丙”）；的取值范围是________．

5 . 已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，，证明：.

6 . 已知函数，其中为实数，是自然对数的底数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若为的导函数，在上有两个极值点，求的取值范围．

8 . 已知，函数，.
(1)若，求函数的极小值；
(2)若函数存在唯一的零点，求的取值范围.

9 . 已知函数，，.
(1)求函数的极值；
(2)证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切；
(3)若恒成立，求实数的最小值.

10 . 设函数，（e为自然对数的底数）
（1）若函数有两个极值点，求a的取值范围；
（2）设函数，其中为的导函数，求证：的极小值不大于1.