1 . 理科已知函数，当时，函数取得极大值.
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有

2 . 已知函数的两个极值点分别为2，3.
(1)求，的值，并求出函数的极值；
(2)已知，求证：不等式在上恒成立.

3 . 已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.
(1)直接写出当时，函数在处的切线方程；
(2)通过计算用表示；
(3)当时，若函数的最小值为，证明：.

4 . 已知函数和.
(1)求函数的极值；
(2)当时，求证：.

6 . （1）证明：当时，；
（2）已知函数，，，为的导函数．
①当时，证明：在区间上存在唯一的极大值点；
②若有且仅有两个零点，求的取值范围．

7 . 已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围，并求证：.

8 . 已知函数有两个极值点，.
(1)求的取值范围；
(2)证明：.

9 . 已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．
(1)已知函数，，求实数取值的集合；
(2)已知函数有两个不同极值点、．
①求实数的取值范围；
②证明：．

10 . 已知，其极小值为-4.
(1)求的值；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.