1 . 已知．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．

3 . 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随直线，特别地，当时，又称为的—伴随直线．
①求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；
②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

4 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，当有两个极值点，时，总有成立，证明：.

5 . 已知函数.
(1)若有唯一极值，求的取值范围；
(2)当时，若，，求证：.

6 . 已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)证明：
①；          
②（，且）.

7 . 已知函数．
(1)若，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极大值点，求证：．

8 . 已知函数.
(1)证明：当时，在区间上存在极值点；
(2)记在区间上的极值点为m，在区间上的零点的和为n，请比较2m与n的大小.

9 . 已知函数在处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数t的取值范围；
(3)证明：对任意的正整数n，不等式都成立．

10 . （1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．