1 . 已知函数．
(1)若对恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若曲线与x轴交于A，B两点，且线段AB的中点为，求证：．

2 . 已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性．
(2)若有两个极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：．

3 . 已知函数，其中，且函数的最大值为
(1)求实数的值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

4 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求的取值范围.

5 . 已知函数，若，求a的值.

6 . 已知函数.
(1)若的极大值为，求的值；
(2)当时，若使得，求的取值范围.

7 . 已知，函数有两个零点，记为，．
(1)证明：．
(2)对于，若存在，使得，求证：．

8 . 已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)在区间内任取两个实数p，q（pq），若不等式>1恒成立，求证：．

9 . 已知为实数，函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)定义：若函数的图象上存在两点，设线段的中点为，若在点处的切线与直线平行或重合，则函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”．试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由；
(3)设，若存在，使得成立，求实数的取值范围．

10 . 已知函数，，，，求证：．