1 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

2 . 已知函数，．
(1)求的单调区间与最值；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

3 . 已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
(3)求证：（，是自然对数的底数）．

4 . 设函数，其中为常数．
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)若函数在区间,上的最大值为3，求实数的取值集合；
(3)试讨论函数的图象与函数的图象的公切线条数．

5 . 已知，.
(1)求函数的单调区间；
(2)①容易证明对任意的都成立，若点的坐标为，、为函数图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：；
②数列满足，，证明：.

6 . 已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)设函数，
①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

7 . 已知.
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)当时，曲线在相异的两点点处的切线分别为和和的交点位于直线上，证明：两点的横坐标之和小于4；
(3)当时，如果对于任意，总存在以为三边长的三角形，求的取值范围.

8 . 已知函数（是自然对数的底数，且）.
（1）求的单调区间；
（2）若是函数在上的唯一的极值点，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.

9 . 已知，其中．
(1)请利用的导函数推出导函数，并求函数的递增区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点的切线平行，求（化简为只含的代数式）；
(3)证明：当时，存在直线，使得既是的一条切线，也是的一条切线．

10 . 若存在实数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.有下列命题：①和之间存在唯一的“隔离直线”；②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为，则（       ）

A．①､②都是真命题	B．①､②都是假命题
C．①是假命题，②是真命题	D．①是真命题，②是假命题