1 . 有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线上的曲线段AB，设其弧长为，曲线在A，B两点处的切线分别为，记的夹角为，定义为曲线段的平均曲率，定义为曲线在其上一点处的曲率．（其中为的导函数，为的导函数）

   

(1)若，求；
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为．
①求的值；
②设函数，若方程有两个不相等的实数根，证明：，其中为自然对数的底数，．

2 . 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
(2)已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

3 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，分别为的极大值点和极小值点，记，．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，．

4 . 已知函数，将曲线绕原点逆时针旋转，得到曲线.
(1)证明：存在唯一的实数，使得曲线是某个函数的图形，并求出；
(2)取，设是曲线图象上任意一点，将曲线绕点逆时针旋转，得到函数曲线，设函数的极小值为，求的单调性.

5 . 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．

6 . 关于函数，四名同学各给出一个命题：
甲：在内单调递减；
乙：有两个极值点；
丙：有一个零点；
丁：，.
则给出真命题的是（       ）

A．甲同学

B．乙同学

C．丙同学

D．丁同学

7 . 已知是方程的两个实根，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)已知，，若存在正实数，使得成立，证明：.

8 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有3个零点；
（i）求的取值范围；
（ii）证明：在双曲线位于第一象限内的图象上存在点，使得对于任意实数，都有.

9 . 已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.
(1)函数，是否为函数﹖请说明理由；
(2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；
(3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.

10 . 已知函数，其导数为.若函数的零点个数为，则下列说法正确的是（       ）

A．当，时，

B．当，时，

C．当且时，b的值为

D．当时，，则