1 . 已知函数.
（1）证明：当时，恒成立；
（2）设数列的通项公式为，记为的前项和，求证：.
（参考数据：，）

2 . 英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分，其中牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，具体做法如下：一个函数的零点为，先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，以此类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.

(1)设函数，初始点，精度，若按上述算法，求函数的零点近似解满足精度时的最小值（参考数据：）；
(2)设函数，令，且，若函数，，证明：当时，.

3 . 已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.

4 . 已知函数．
(1)若，求实数的值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：．

5 . 设，为函数（）的两个零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．

6 . 已知函数.
(1)证明：在上存在极值.
(2)证明：当时，.

7 . 刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.若记，则函数在点处的曲率.
(1)求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：.

8 . 已知函数.
(1)若，求证：当时，
(2)若有两个不同的极值点且.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.

9 . 已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)证明：．

10 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，求证：.