1 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．

(1)证明：当时，；
(2)从图形上看，函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．
①当时，证明：；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．

2 . 已知函数，．
(1)若，讨论在上的单调性．
(2)设为方程的实数根，其中，．
（ⅰ）证明：，有；
（ⅱ）若，，证明：．

3 . 函数与函数之间存在位置关系.已知函数与的图象在它们的公共定义域内有且仅有一个交点，对于且，且，若都有，则称与关于点互穿；若都有，则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为，导函数分别为与，与的图象在上有且仅有一个交点，与的图象在上有且仅有一个交点.
(1)若，，试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回，证明：与关于点互穿且在上恒成立.
(3)研究表明：若与关于点互穿，则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息，证明：（为奇数）.

4 . 下列正确结论的个数为（       ）
①             ②             ③             ④

A．1

B．2

C．3

D．4

5 . 有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线上的曲线段AB，设其弧长为，曲线在A，B两点处的切线分别为，记的夹角为，定义为曲线段的平均曲率，定义为曲线在其上一点处的曲率．（其中为的导函数，为的导函数）

   

(1)若，求；
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为．
①求的值；
②设函数，若方程有两个不相等的实数根，证明：，其中为自然对数的底数，．

6 . 已知当时，，，.
(1)证明：；
(2)已知，证明：（可近似于3.14）.

7 . 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
(2)已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

8 . 令．则的最大值在如下哪个区间中（       ）

A．	B．
C．	D．

9 . 已知函数，则（       ）

A．	B．
C．	D．

10 . 如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若，且，求；
(2)已知，证明：，并解释其几何意义；
(3)证明：，．