1 . 已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．

3 . 已知函数，为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围；
(3)若，证明：．

4 . 已知函数.
(1)若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；
(2)当时，求函数在上的最大值和最小值；
(3)当时，对任意的正整数，求证：.

5 . 已知函数．
(1)若有3个极值点，求a的取值范围；
(2)若，，证明：．

6 . 已知函数．
(1)当时，证明：．
(2)若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知函数.
(1)若函数有两个极值点，求的取值范围；
(2)若对，函数恒成立，求的取值范围；
(3)证明：对，.

9 . 如图，对于曲线，若存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在处的导数（即曲线在点的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径.

   

(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)（i）求证：平面曲线在点的曲率半径为（其中表示的导函数）；
（ii）若圆为函数的一个曲率圆，求圆半径的最小值；
(3)若曲线在处有相同的曲率半径，求证：.

10 . 已知函数．
(1)求证：；
(2)若当时，，求的取值范围．