1 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设分别是的极小值点和极大值点，记．
（i）证明：直线与曲线交于除外另一点；
（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值且，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知函数，其中．
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．

3 . 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．

4 . 已知函数在处取得极小值.
（1）求实数的值；
（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点，且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由.

5 . 已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值.

6 . 已知函数的图象的一条切线为轴.
（1）求实数的值；
（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.

7 . 已知函数.
（1）求函数的单调性与极值；
（2）若关于的方程有两个解，求实数的取值范围.